Actividad 5 - Calculando Proporcionalidad
PLANTEAMIENTO Y SOLUCION DE EJERCICIOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
1. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
Datos:
Primera Parte: a =
x
Segunda parte duplo de la primera: b = 2x
Tercera parte, la suma de las dos primeras y exceda en 20
c =
(a + b) - 20
Reemplazando = (x + 2x) - 20 = 3x - 20
Entonces:
x + 2x + 3x – 20 =: 196
6x = 196 + 20
x = 216/6
x = 36 que seria la primera parte: a
Reemplazamos el valor en b
b = 2x = 2*36 = 72
Ahora reemplazamos lo valores encontrados
en c
c = (a +b) - 20 = x + 2x -20 = 36 +72 - 20 = 88
Rta. / Las partes serian a = 36; b = 72 y c = 88, cumpliendo con las condiciones del problema
2. El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho. Hallar el ancho.
Datos:
Largo = 461 pies: L
x = ancho
Entonces:
El ancho excede en 11 pies a 9 veces el ancho
L = 9x + 11
Reemplazamos el valor del largo que es de 461 pies
461 = 9x + 11
Transponemos términos y realizamos las operaciones
461 - 11 =9x
450 = 9x
450/9 = x
50 = x
Rta. / El ancho del buque es 50 pies
3. Tenía $85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté. ¿Cuánto gasté?
Datos:
Lo que tenía = $85
x = lo que gaste
4x = lo que me queda
Entonces:
La suma de lo que gaste y
lo que me queda es igual a lo que tenia
x + 4x = 85
reducimos términos
semejantes y realizamos operaciones
5x = 85
x = 85/5
x = 17
Rta. / Gasté $17 y me quedaron $68
4. Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica
por 12, el resultado es el mismo que si al número se resta 27 y la diferencia
se multiplica por 24. Hallar el número.
Datos:
x: numero
Entonces:
(x - 24) * 12: al número se le resta 24 y la diferencia
se multiplica por 12
(x - 27) * 24: al número se le resta 27 y la diferencia
se multiplica por 24
Igualamos:
(x - 24) * 12 = (x - 27) * 24
Hacemos las operaciones y transponemos términos
12x - 288 = 24x -
648
24x - 12x = 648-288
12x = 360
x = 360/12
x = 30
Reemplazamos el valor encontrado, en la primera ecuación,
para comprobar
(x - 24) * 12 = (x - 27) * 24
(30 – 24) * 12 = (30-27) * 24
6 * 12 = 3 * 24
72 = 72
Rta. / El número que cumple con las condiciones es 30
5. Un hombre ha recorrido 150 kilómetros. En auto recorrió
una distancia
triple que a caballo y a pie, 20 kilómetros menos que a
caballo. ¿Cuántos
kilómetros recorrió de cada modo?
Datos:
x: Recorrido a caballo
3x: Recorrido en auto
x – 20: Recorrido a pie
Total Recorrido: x + 3x + x - 20 = 150 Km
Entonces:
x + 3x + x - 20 = 150
Reducimos términos semejantes y realizamos las
operaciones
5x-20 = 150
5x = 150 + 20
x = (150 + 20) / 5
x = 34
hemos hallado el recorrido de acuerdo al planteamiento
inicial
Recorrido a caballo
x = 34
Recorrido en auto
3x = 3 * 34 = 102
Recorrido a pie
x – 20 = 34 – 20 = 14
Reemplazamos lo valores encontrados en la ecuación inicial
x + 3x + x - 20 = 150
34 + 3(34) + 34 – 20 = 150
34 + 102 + 14 = 150
150 = 150
Rta. / El hombre recorrió 102 Km en Auto, 34 Km a Caballo y 14 Km a pie.
6. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos
años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
Datos:
Edad del padre: 35
Edad del hijo: 5
x: número de años en los
que la edad del padre será tres veces la edad de su hijo
Entonces:
35 + x = 3 * (5 + x)
Resolvemos las operaciones y trasponemos términos
35 + x = 15 + 3x
35 – 15 = 3x – 2x
20 = 2x
x = 20/2
x = 10
reemplazamos el valor encontrado en la ecuación inicial
35 + x = 3 * (5 + x)
35 + 10 = 3 * (5 +10)
45 = 3 * 15
45 = 45
Rta. / El padre tendrá tres veces la edad del hijo dentro de 10 años.
7. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
Datos:
x: número
Entonces:
2x – (x/2) = 54: El doble del número y se le resta la
mitad.
Resolvemos las operaciones y reducimos términos semejantes
2x – x = 54
1
2
4x – x =
54
2
4x – x = 2 * 54
3x = 108
x = 108 / 3
x = 36
Reemplazamos el valor encontrado para comprobar
2x – (x/2) = 54
2*36 – (36/2) = 54
72 – 18 = 54
54 = 54
Rta. / El numero que cumple con las condiciones es 36
8. Una granja tiene cerdos y
pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
Datos:
Total de Animales: 35 que es igual
al número de cabezas
Numero de patas: 116
x: número de Cerdos
35 – x: número de Pavos
Entonces:
4 * x + 2 * (35 − x) = 116: La sumatoria de las patas de los
animales es 116
4 patas para los Cerdos y 2 para los
pavos
Realizamos las operaciones y reducimos términos semejantes
4x + 70 − 2x =
116
4x - 2x = 116 -
70
2x = 46
x = 23: número
de Cerdos
hallamos el número de Pavos de acuerdo al planteamiento inicial
35 – x = 35 – 23 = 12: Número de Pavos
reemplazamos en la ecuación para comprobar
4 * x + 2 * (35
− x) = 116
4 * 23 + 2 *(35 –
23) = 116
92 + 2 * (12) =
116
92 + 24 = 116
116 = 116
Rta. / El número de Cerdos es 23 y el numero de Pavos es 12
9. En una reunión hay doble
número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y
mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen
96 personas?
Datos:
x: Número de Hombres
2x: Número de Mujeres
3 * (x + 2x) = 3 * 3x = 9x : Numero de Niños
Entonces:
x + 2x + 9x = 96: la sumatoria da el numero total de los
asistentes a la reunión
Reducimos términos semejantes y realizamos las operaciones
12x = 96
x = 96 / 12
x = 8: número de hombres
Hallamos el número de mujeres
2x = 2 * 8 = 16
Hallamos el número de niños
9x = 9 * 8 = 72
Comprobamos reemplazando los valores en la ecuación
x + 2x + 9x = 96
8 + (2 * 8) + (9 * 8) = 96
8 + 16 + 72 = 96
96 = 96
Rta. / En la Reunión hay: 8 hombres, 16 mujeres y 72 niños
10. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por
partes iguales, pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una
de las restantes tuvo que poner $2.000 más. ¿Cuál era el valor de la casa?
Datos:
x = valor de la casa.
x/6 = Valor que correspondía poner a cada uno
(x/6) + 2.000 = Valor que tienen que poner cada uno después de
retirarse dos.
Entonces:
x = 4((x / 6) + 2.000); Valor total de la casa comprada por 4
socios
Resolvemos las operaciones y trasponemos términos
x = 4((x + 12.000) / 6)
x = (4x +48.000) / 6
6x = 4x +48.000
6x – 4x = 48.000
2x = 48.000
x = 48.000 / 2
x = 24.000
Rta. / el valor de la casa es de $24.000
Bibliografía
Baldor,
J. (1983). Algebra. 1st ed. Mexico D.F. Compañía
Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos, p. [141, 142].
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